تجزیه اعداد با استفاده از خم های بیضوی با خم های ادواردز

تجزیه اعداد، یکی از بیشترین مسائل مورد مطالعه در نظریه الگوریتمی اعداد و رمزنگاری می باشد. روش ‎‏‎تجزیه اعداد با استفاده از خم های بیضوی‎ ‎‎(ecm)‎‎، که به روش لنسترا‎ ‎‎معروف است، در حال حاضر، یکی از بهترین روش ها برای تجزی? اعداد است. شکل های مختلفی از خم های بیضوی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند، که می توان به خم های سویاما‏، خم های مونت گومری‏، خم های ادواردز‎ و خانواده های توسیع یافت? خم های ادواردز اشاره کرد، که مورد اخیر از جدید ترین و بهترین نوع خم های بیضوی می باشند. ‏‎روش ‎ecm ‏، ‎نقش ‎مهمی ‎را ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎تصادفی ‎ایفا ‎می کند ‎که ‎مورد ‎علاقه ‎دانشمندان ‎نظریه ‎اعداد ‎است. ‎همچنین ‎این ‎روش ‎کاربرد ‎زیادی ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎از ‎اندازه ‎متوسط و ‎بزرگ‎ دارد و از این لحاظ مورد علاقه دانشمندان رمزنگاری است. ‎بهترین رکورد ثبت شده روش ecm ‎‏، کشف عامل 274 بیتی از عدد 947 بیتی 7^337+1 ‎است که در سال 2013 به دست آمده است. اطلاعات بیشتر درباره تمام رکوردهای ثبت شده روش تجزیه ‎ecm ‎در ‎سایت‎ http://www.loria.fr/~zimmerma/records/ecmnet.html قراردارد. ‏بسیاری از تحلیل ها و بررسی های صورت گرفته برای پیشرفت روش‎ecm ‎‏، استفاده از نقاط و گروه های ‎q‎‏-تاب دار خم های بیضوی می باشد که ‎‎‏در این روش‏ مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل پایانی این کار‏، به بررسی کامل روش ‎ecm ‎‏ دو مرحله ای پرداخته شده است. همچنین پارامتری سازی هایی که توسط مونت گومری و اتکین و موراین‏ برای خم های ادواردز برای بررسی گروه های q -تاب دار یک ریخت با z_12‎ و z_2 × z_8 معرفی شده اند‏، بیان شده است. پیاده سازی هایی برای روش ‎ecm ‎انجام ‎گرفته است‎‏، که می توان به نرم افزار gmp-ecm ‎اشاره کرد. ‎در ‎این ‎پایان نامه‏، ‎پیاده سازی‎‎ ‎ecm ‏، ‎با ‎استفاده از ‎کتابخانه ‎محاسباتی‎ ‎ mpf_q (‎mpfq‎) و‎ ‎با ‎استفاده از ‎خم های ‎ادواردز‎‏، تحت عنوان نرم افزار ‎eecm-mpfq ‎بیان شده است.‎ با استفاده از پارامتری سازی های گفته شده‏، درصد موفقیت پیاده سازی روش ‎ecm ‎‏ با استفاده از نرم افزار ‎eecm-mpfq‎‎ ‏‎‎مورد‎ بررسی قرار گرفته است. ‎البته‎ لنسترا در مقاله خود دلایل و احتمالات موفقیت روش جدید خود را بیان و اثبات نموده است و بررسی هایی که پس از لنسترا توسط سایرین انجام گرفته است‏، برای بهبود روش ‎ecm ‎‏‏، افزایش کارایی‏، پیداکردن بهترین پارامترها و خم ها برای این روش می باشد.‎